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[You must be registered and logged in to see this image.]이종필의 "샐러리맨 전 차장이 아인슈타인이 되기까지"

평범한 직장의 샐러리맨인 전 차장이 어느날 난해한 아인슈타인 방정식을 배워보겠노라고 나섰다. 그를 돕기 위해 나선 물리학자의 친절한 강의가 시작된다.





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BY [You must be registered and logged in to see this link.] l 2011.01.28



샐러리맨 전 차장이 아인슈타인이 되기까지 (11)




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샐러리맨 전 차장이 중력관측소에서 촬영해와 이번 강의의 계기가 되었던 아인슈타인 방정식. 이 방정식의 의미를 설명하는 휠러의 문구가 보인다. "물질은 공간이 어떻게 굽어라 말하고 공간은 물질이 어떻게 움직이라 말하네."






대망의 미적분










고등학교 과정의 수학을 가르치다보면 내가 고등학교 때 수학을 어떻게 공부했는지가 비교적 생생하게 떠오른다. 그건 아마도 배우는 수강생들도 마찬가지일 것이다. 가르치는 입장에서는 특히 그 시절을 떠올릴 필요가 있다. 내가 혹은 친구들이 그 때 어려워했던 대목이 무엇인지, 그리고 왜 어려워했는지를 다시 복기해 보면 생각의 마디와 사고의 결절을 추적할 수 있고, 그것은 고스란히 내 강의의 중요한 자산이 되기 때문이다. 내가 이해하기 어려웠던 부분은 지금 수강생들도 어려워할 가능성이 매우 높다. 그래서 내가 그 어려움을 어떤 사고방식으로 극복했는지 그 생각의 여정을 자세하게 보여주면 수강생들도 수많은 생각의 시행착오를 줄일 수 있다.






주마등처럼 스치는 나의 고교 시절과 수학





지금은 나도 수학을 그리 잘하는 편이 아니지만, 고등학교 때는 고등학교 수학을 그나마 좀 하는 편이었다. 그다지 두뇌가 명석하지 못했던 까닭에, 그렇게 되기까지에는 나름대로 피나는(?) 노력이 필요했다. 특히 1학년 때(1987년)가 적응하기에 가장 힘들었다. 고등학교에 올라가면 우선 중학교에 비해서 기억해야 할 공식의 수가 엄청나게 늘어난다.




흔히 수학은 암기과목이 아니라고는 하지만, 수학을 잘하려면 기본적인 사항은 잘 외는 게 유리하다. 이는 마치 구구단을 못 외고서는 곱하기와 나누기를 못하는 것과도 같은 이치이다. 물론 원리를 깨우치면 공식을 욀 때 큰 도움이 되기도 한다. 그러나 수학은 암기과목이 아니라는 강박관념 때문에 외는 것 자체를 도외시하는 건 수학공부에 도움이 안 된다. 문제는 꼭 필요한 것을 외는 대신에 쓸데없는 것을 많이 왼다는 것이다. 좋은 선생님이 필요한 것은 바로 이 때문이다. 무엇을 어떻게 효과적으로 욀 것인가, 그리고 보다 중요하게, 이것을 왜 지금 외야 하는가 그 이유를 설득시키는 게 선생님의 역할이다.




고등학교 1학년 초기에 나의 수학 실력은 아마도 평균을 밑돌았던 것 같다. 중학교를 꽤나 우수한(!) 성적으로 졸업했던 나는 겁에 질려(그 공포심의 실체가 무엇인지는 확실히 모르겠으나, 이 표현은 당시 내 상황을 너무나 정확하게 묘사하고 있다), 수학에 목을 매었다. 저녁 청소시간에도 수학책을 들고 복도를 배회했던 기억이 아직도 생생하다.




1학년 때는 고등학교 수학을 전체적으로 조망하면서 계획을 세워 공부할 여유가 없었다. 그저 닥치는 대로 문제 풀고 공식을 외고 또 풀고, 안 풀리면 답을 통째로 외고, 그렇게 1년을 보냈다. 그러다가 1학년 말에 교내 수학경시대회가 있었다. 시험이 끝난 뒤 예상했던 나의 점수가 60점대여서 적잖이 실망이 컸다. 그런데 전혀 예상 밖으로 그 점수로 1등을 해버렸다. 나보다 나의 수학실력을 더 잘 알던 수학 선생님들도 많이 놀라셨던 게 아직도 기억난다.




나도 수학을 잘하는구나… 뭐 그런 어색한 자신감이 처음으로 생겼다. 그런 자신감은 2학년 올라가서 나의 가장 큰 자산이 되었다. 지금처럼 보편적으로 과외를 하던 때는 아니었지만, 반 친구들 중 몇몇은 학원이나 개인교습으로 선행학습을 하고 있었다. 그런 친구들은 학년 초부터 이미 미분과 적분을 다룰 줄 알았다. 부산에서 고등학교를 다닌 내가 사교육 광풍이 몰아치기 시작했던 10년 쯤 늦게 태어났다면, 아마 명문대는커녕 수도권 대학에도 진학하지 못했을 것이다.




내가 미분을 터득한 것은 거의 학교 수업진도가 미분을 시작할 무렵이었다. 그리고 고등학교 수학과정을 전체적으로 이해하기 시작한 것은 2학년이 거의 끝날 때 즈음이었다. (이과 계열이 배웠던 수학II는 2학년 때까지 다 배웠고 고3 때는 복습만 했다.) 평소에는 정석이니 해법이니 하는 자습서들을 열심히 공부했고 시험기간이 닥치면 교과서와 세 가지 종류의 문제지(아주 쉬운 기본문제지+평균 난이도의 문제지+꽤나 어려운 문제지)를 풀었다. 그런 만큼 수학에 투자하는 시간도 영어와 더불어 압도적으로 많았다.




2학년 때는 나의 의도와 무관하게 학교 문예부장을 맡게 되었다. 1학년에 가입했던 문예부에서 내가 없는 자리에서 나를 부장으로 뽑아버렸다. 부장을 하다 보니 인근지역 학교들 문예부와 함께 문예부 연합회 일까지 관여하게 되었다. 그리고 1학년 때 학교 외부의 독립적인 문학 써클에도 가입해서 활동을 하고 있었다. 그래서 고등학교 시절에는 시험기간이 아니라면 주말에 공부할 시간을 만들기가 어려웠다. 그런데 이런 상황이 오히려 배수진의 역할을 했는지, 주중에 공부할 때 집중력을 높여주기도 했다. 주중에 시간을 아껴서 공부하지 않으면 뒤쳐질 수밖에 없다는 그런 심리적인 압박이 비교적 좋은 방향으로 작용했던 것 같다.




고3 때에도 자습서를 복습하며 여러 가지 문제지를 닥치는 대로 풀었다. 고등학교 3년 동안 <수학의 정석> 같은 자습서는 대여섯 번 본 것 같다. 그 덕분인지 모의고사를 보면 수학에서는 약간의 자신감이 있었다. 기상천외한 문제가 나오지 않으면 실수가 없는 한 만점을 기대할 수 있게 되었다. 학력고사 시절에는 필기 320점 만점에 수학이 75점(이공계의 경우)으로 배점이 가장 높았다. 반면에 국어(55점)와 영어(60점)에는 이른바 ‘넘사벽’이 있었다. 하지만 실제 학력고사에서는 수학에서 만족스런 점수가 나오지 않았고 상대적으로 국어에서 좋은 점수를 받았다.




고3 때는 학교 대표로 수학경시대회에 나가기도 했다. 따로 선발과정을 거치지는 않았다. 보통 다른 학교에서는 2학년이 대표로 나오는데 왜 고3인 내가 나가야 하나 하는 불만도 좀 있었다. 3학년이 대표로 나온 학교도 없지 않았지만, 잘해봐야 본전이라는 생각도 들었고, 무엇보다 학력고사 준비에 차질이 생기지 않을까 걱정도 되었다. 요즘 같으면 경시대회 경력이 대학입시에 도움이 되니까 생각이 달랐겠지만 그 때는 학력고사 시절이었다.




그리고 그 무렵 하필이면 오른쪽 엄지발가락 발톱이 살을 파고 들어가서 한동안 고생하다가 추석 때 발톱을 뽑는 수술을 했다. 불행히도 다시 자란 발톱에 또 문제가 생겨 한 번 더 뽑았다. 경시대회 시험을 보러 가던 날이 두 번째로 발톱을 뽑은 다음날이었던 걸로 기억되는데, 걷다보면 상처가 잘 아물지 않아 붕대에 스며든 피가 운동화까지 약간 배어나왔다. 피를 보며 시험 치는 기분이 가히 좋지는 않았다.




결과적으로 말하자면 경시대회 성적은 좋지 않아서 부산대표로 선발되지 못했다. 위에서 얘기했던 온갖 난관을 극복하고 좋은 결과를 냈으면 한 편의 전설이 완성되었을 테지만, 실제는 그렇지 못해서 그 전설의 배경요소가 사실은 핑계거리에 지나지 않게 되었다.




그래도 어쨌든 운이 좋아서 원하는 학과에 진학하게 되었으니 천만다행임에 틀림없었다.









미분은 순간변화율 = 접선의 기울기






그런 저런 생각들이 주마등처럼 스쳐 지나가는 와중에 어느덧 수업은 미분 코앞까지 와 있었다. 함수의 극한까지 아쉬운 대로 어느 정도 설명을 했으니 미분을 도입하기 위한 모든 준비는 갖춰졌다. 미분을 본격적으로 설명하기 전에 나는 한 가지 예를 들며 강의를 이어나갔다.




서울에서 부산까지 차를 몰고 간다고 생각해 보자. 경부 고속도로를 따라 약 450km를 5시간에 걸쳐 달렸다면, 우리는 평균적으로 시속 90km(450/5=90)의 속력으로 차를 몬 셈이다. 이 계산법에서는 우리가 중간에 휴게소에 들렀다든지 정체 때문에 혹은 표를 받기 위해 속도를 줄였다든지 하는 세부사항은 알 필요가 없다. 단지 총 이동거리와 총 걸린 시간만 알면 된다. 이렇게 계산한 속력을 평균속력이라고 한다. (속도와 속력의 엄밀한 차이는 나중에 다시 자세하게 다룰 예정이다.)




평균속력은 그 나름대로 의미가 있는 양이다. 하지만 우리는 때로 매 순간순간 얼마만큼 빨리 달리고 있는지를 알고 싶을 때가 있다. 다행히 우리의 자동차 안에는 속도계가 있어서 임의의 순간에 자동차가 얼마의 속력으로 달리고 있는지 한눈에 알 수 있다. 이처럼 임의의 매 순간에 측정하는 속력을 순간속력이라고 한다.




미분은 말하자면 자동차의 순간속력을 계산하는 수학적 방법이라고 할 수 있다. 속력은 시간에 따라 얼마만큼의 거리를 이동했는가를 따지는 양, 즉 시간에 따른 이동거리의 변화량이다. 이처럼 수학에서나 물리에서나 두 가지 변수 x, y가 서로 상관관계를 가지고 있는 경우, x가 조금 변할 때 y가 얼마만큼 변하는가를 아는 것이 무척 중요하다. 흔히 두 변수의 상관관계는 y=f(x)라는 함수로 주어지니까, x의 변화에 대한 f(x)의 변화를 따지게 된다. 이 변화량의 상대적인 비율, 즉 x의 변화량에 대한 y(즉 f(x))의 변화량이 수학적으로 큰 의미가 있다.



미분이란 순간속력에 해당하는 값, 즉 순간적인 변화량의 비율을 구하는 방법이다. 이 순간적인 변화율을 줄여서 ‘순간변화율’이라고 한다. 그러니까, 미분이란 순간변화율과 같다고 할 수 있다.




함수의 순간변화율을 알기 전에 먼저 함수의 평균변화율부터 알아야 한다. 평균변화율은 쉽다. 자동차의 평균속력처럼 중간과정에는 신경 쓰지 않고 처음값과 나중값만 생각해서 그 변화량을 측정한 것이다.



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위 그림에서 x가 a에서 b로 변할 때, y 값은 f(x)를 따라 f(a)에서 f(b)로 변한다. 평균변화율이란 x의 변화량에 대한 y의 변화량의 비율이다. 즉




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이다. 이것을 수학적으로 좀 멋지게 쓰고 싶으면 수학적인 기호를 도입하면 된다. 대개 학생들은 이상한 기호가 나오면 이유 없이 기가 죽는 경우가 많은데, 기호는 그저 기호일 뿐이다. 수학을 잘 하려면, 이전 강의에서도 누차 강조했지만, 기호에 현혹되면 안 된다.




자, 이제 (x의 변화량)을 간단히 Δx라 하고 (y의 변화량)을 Δy라 하자. 여기서 세모처럼 생긴 기호 Δ는 그리스 문자로서 “델타(delta)”라고 읽는다. Δ는 대문자이고 소문자는 δ이다. 꼭 그런 것은 아니지만, 물리학에서는 어떤 변화량을 말할 때 델타라는 문자를 흔히 쓴다. 말로 쓴 식 (1)을 이제 기호로 쓰면




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가 되어 식 (1)보다 훨씬 수학냄새가 더 난다. 달리 말하자면 식 (2)는 식 (1)과 똑같다. 단지 대부분의 사람들은 (2)와 같은 식을 보면서 (1)과 같은 의미를 쉽게 해석하지 못할 뿐이다. 여기서부터 수학을 잘하고 못하는 비극의 갈림길이 시작된다. 그래서 수학에서는 일단 정의를 제대로 아는 게 중요하다.





그런데, 이게 끝이 아니다. 이제부터가 시작이다. 위 그림에서 보면



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임을 쉽게 알 수 있다. 따라서




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이것을 약간 다르게 표현하자면, 식 (3)에서 b = a + Δx이므로




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로도 쓸 수 있다. 굉장히 복잡해 보이지만, 내용은 하나다. x의 변화량에 대한 y의 변화량의 비율. 이 평균변화율의 기하학적인 의미는 두 점 A(a, f(a))와 B(b, f(b))를 잇는 직선의 기울기이다. 그렇기 때문에 두 점 사이에 곡선 f(x)가 어떤 형태를 취하든지 두 점만 고정되어 있다면 평균변화율에는 아무런 변화가 없다. 사실 여기까지는 중학교 수준의 이야기이다. 직선의 기울기는 중학교 때 다 배운다.



우리는 순간변화율을 알고 싶다. 중학교와 고등학교의 결정적인 차이가 이것이다. 그렇다면 순간변화율은 어떻게 정의할까? 누차 예고했듯이 미분은 극한으로 정의된다. 그 예고대로 순간변화율은 앞서 배운 극한의 개념으로 쉽게 정의할 수 있다. 만약에 두 점 A(a, f(a))와 B(b, f(b))가 한없이 가까워지면 어떻게 될까? 점 A와 점 B가 가까워지는 매 순간에 우리는 두 점 사이의 평균변화율, 즉 두 점을 잇는 직선의 기울기를 생각할 수 있다. 그러다가 점 B가 점 A에 한없이 가까워진다면 우리는 그 두 점을 잇는 직선의 기울기가 결국에는 점 A에서의 “접선의 기울기”가 될 것임을 직관적으로 알 수 있다. 이 접선의 기울기가 바로 “순간변화율”이다.
지금까지 말로 한 내용을 식으로 옮기면 다음과 같다.




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식 (2)와 비교해 보면 분수 앞에 극한기호가 붙은 차이밖에 없다. Δx가 0으로 가면 b의 값은 a로 한없이 가까워진다. 식 (7)의 값을 “x=a에서의 순간변화율” 혹은 “x=a에서의 미분계수”라고 부르며 수학기호로는 f ‘(x)라고 쓴다. 이 때 ‘ 기호는 프라임(prime)이라고 읽으며 미분계수를 뜻한다.




식 (7)은 식 (6)처럼 현란하게 변신시켜서 표현할 수도 있다.




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이렇듯 다양한 표현식에서 특히 두 번째 표현을 잘 기억해 둘 필요가 있다. 편의상 Δx = h라고 두면,




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를 얻는다. 식 (9)는 x=a에서의 미분계수 f’(a)에 대한 정의라고 할 수 있다. 그리고 미분계수는 순간변화율이고 그 점에서의 곡선의 접선의 기울기에 해당하는 양이다. 주어진 함수 f(x)에 대해 어떤 점 x=a에서의 미분계수를 구한다는 것은 그 점에서의 접선의 기울기를 구한다는 뜻이다. 그리고 그 접선의 기울기는 그 점에서의 함수 y=f(x)의 순간변화율이다. 말하자면 그 점에서의 순간속력을 아는 것과도 같다.



그런데, 우리가 원하는 점마다 식 (9)를 이용해서 미분계수를 구하는 작업은 무척 번거로운 일이다. 그래서 점 x=a를 임의의 x 값이라고 생각하고 그 x 값에 대한 미분계수 f ‘(x)를 대응시키는 새로운 함수를 생각할 수 있다. 이렇게 정의된 함수, 즉 x에서 f ‘(x)로 정의된 함수를 도함수(derivative)라고 부른다. 한마디로 쉽게 말하자면, 도함수란 임의의 점 x에서 정의된 미분계수 f ‘(x)이다.




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그리고 주어진 함수 f(x)에 대해 도함수 f ‘(x)를 구하는 과정을 미분(differentiation) 혹은 미분법이라고 부른다. 그러니까, 미분이란 어떤 함수에 대해 임의의 점에서의 순간변화율(즉 접선의 기울기)을 구하는 수학적 도구라고 보면 된다. 식 (10)은 극한값의 관점에서 보자면 0/0 형태이다. (h가 0으로 갈 때 분자와 분모 모두 0으로 간다.) 경우에 따라서는 이 극한값이 존재할 수도 있고 없을 수도 있다. 만약 이 극한값이 유한한 값으로 존재하면, 우리는 함수 f(x)가 그 점에서 미분 가능하다(differentiable)고 말한다. (미분가능성은 한 점에서의 성질이다.)




함수가 어떤 점에서 미분 가능하다는 것은, 미분계수의 정의를 돌이켜보면, 그 점에서 접선의 기울기를 수학적으로 정의할 수 있다는 얘기이다. 미분이 불가능한 대표적인 경우는 그 점에서 함수가 꺾여 있는 경우이다. 즉 그 점이 뾰족점이면 이 점의 왼쪽에서 정의되는 접선의 기울기와 오른쪽에서 정의되는 접선의 기울기가 일치하지 않는다. 이는 식 (10)의 극한값에서 좌극한값과 우극한값이 다른 경우이다. 미분이 가능하려면 이런 점이 없어야 한다. 정성적으로 말하자면, 곡선이 모든 점에서 매끈하게 (뾰족점 없이) 연결되어 있으면 그 함수는 그런 구간 안의 모든 점에서 미분가능하다.




프라임(’)은 미분을 나타내는 단축기호이다. 미분이라는 수학적 조작을 표시하는 데에는 프라임보다 더욱 유용한 라이프니츠 기호가 있다. 라이프니츠 기호는 미분의 정의에 아주 충실한 표기법이다. 이 표기법에 의하면 도함수는 다음과 같이 쓸 수 있다.




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여기서 [You must be registered and logged in to see this image.]는 나눗셈과 아무런 상관이 없다는 점을 매우 유의해야 한다. [You must be registered and logged in to see this image.]는 이 자체로 그 뒤에 오는 함수를 미분하겠다는 연산자이다. 이 기호는 순간변화율의 정의, 즉 [You must be registered and logged in to see this image.]와 무척이나 닮았다. [You must be registered and logged in to see this image.]가 나눗셈과는 전혀 상관이 없지만, 편의상 우리는 dx가 x의 극소변화량으로서 Δx가 0으로 가는 극한에서의 x의 변화량이라고 생각할 수 있다. dy도 마찬가지이다. 실제 나중에 보면 dx와 dy를 마치 분모나 분자처럼 다루면서 미분을 계산할 수 있다. 이 뿐만 아니라, 이 표기법은 적분을 할 때도 특히 유용하다. 여기까지 강의를 하고 약 20분간 쉬는 시간을 가졌다. [...다음 페이지로 이어짐...]]